Je ne pense pas qu'un doubleur ou autre télé-convertisseur soit montable sur cet objectif.
Généralement, le TC rentre dans la partie arrière de l'objectif. S'il y a une lentille arrière affleurante, il n'est donc pas possible de le monter mécaniquement.
Il existe des TC et doubleurs qui ne rentrent pas dans l'objectif, mais généralement ils sont de bien moins bonne qualité, et n'ont pas de contacts électriques, ce qui te fera perdre tous les automatismes sur ton d5200 (mesure de la lumière, autofocus), sans parler de la perte de lumière.
Les TC sont prévus pour être montés sur des focales fixes lumineuses, et quelques rares zooms (comme les 70-200 par exemple).
Il est donc sûr et certain qu'il s'agit d'une mauvaise idée de vouloir monter un TC sur un 150-500. Tu obtiendras de meilleurs résultat en soignant ta photo à la prise de vue et en faisant un crop ensuite.
Au final, 500mm sur un format DX, ca fait un équivalent 750mm en FX, ce qui est déjà pas mal.
Si tu as besoin de plus long encore, alors il faut envisager un 150-600 Tamron (mais la différence n'est pas énorme), sinon regarder du côté des bridges. Certains atteignent les 1000mm avec une qualité correcte.
Du côté des objectifs pour Nikon, il faudrait un 400 f/2.8 (9000 €) avec un TC20 E3.