Bonjour et merci Tytram,
J'avais déjà effectué tout ce que tu préconises. Ce qui m'a sauvé, c'est de désinstaller Snapbridge de mon IPhone, et de le réinstaller (dans la même version 2.0.3).
J'ai pu ensuite refaire l'appairage avec succès, et me dé- et re-connecter plusieurs fois de suite 
!
Ce que je n'avais pas compris, c'est qu'il ne faut pas refaire "Connecter au périphérique" chaque fois que l'on souhaite utiliser Snapbridge...! Cette commande correspond à l'appairage BlueTooth, qu'on ne fait qu'une fois (à condition d'activer "lien auto" dans les "Options de Lien auto" de l'appli SB ?).
Autre petite remarque: Il faut aussi connecter le smartphone au Wifi du Nikon, mais la connexion est coupée chaque fois que l'on change d'onglet sous SB.
Merci à tous, il fallait un peu de persévérance mais ça semble fonctionner, à voir dans la durée.
J'ai effectivement eu le même symptôme de Bluetooth OFF en grisé sur mon D5600 et la désinstallation/réinstallation de Snapbridge sur mon smartphone Androïd m'a permis de relancer l'appairage entre le mobile et l'appareil photo avec succès. Merci pour le tuyau.