Je plussoie l'idée du AFS 300mm f4, pas nécessairement avec un téléconvertisseur (ça dépend ce qu'on veut faire), qui rentre totalement dans le budget (souvent dans les 500 euros en occasion) et qui fait bien le taf.
Je l'ai beaucoup utilisé avec mon D7200 (que je n'ai plus) et continue de le faire avec mon Z50. Je lui adjoins de temps en temps un TC-14E II, au prix d'une petite perte de piqué (acceptable). Dans un premier temps, je n'achèterais pas forcément de TC, pour attendre de voir si c'est vraiment nécessaire pour ma pratique.
Une qualité trop souvent oubliée de cet objectif : sa qualité en proxi. Sa distance de mise au point réduite (moins d'1m50) et son très bon piqué en font un très bon objectif pour cet usage. Si tu cliques sur le lien dans ma signature, tu verras pas mal de photos prises avec le combo D7200 + 300mm f4.
Sinon, dans le budget, on pourrait penser au Sigma 100-400 aussi, qui a assez bonne presse vu son prix réduit. C'est un zoom donc un usage différent (et moins lumineux).